பித்தகோரஸூக்கு முன்பே வேத கால சூத்திரங்களில் பிதாகரஸ் தேற்றம்; புதிய விவாதம்

Kabir Firaque 

Pythagorean geometry in Vedic-era texts, centuries before Pythagoras: சமீபத்தில் பதிவேற்றப்பட்ட தேசிய கல்விக் கொள்கை (NEP) 2020 பற்றிய கர்நாடக அரசின் நிலைக் கட்டுரை, கணித வரலாற்றாசிரியர்களுக்கு நீண்டகாலமாகத் தெரிந்த ஒரு விஷயத்தைப் பற்றிய விவாதத்தை புதுப்பித்துள்ளது. அந்த விவாதம் பிதாகரஸ் தேற்றம் என்று நாம் அழைக்கும் தேற்றமானது, பித்தகோரஸூக்கு முன்பே வேதகாலத்திலிருந்து இந்தியர்களுக்கு தெரியும் என்பது.

தேசிய பாடத்திட்ட கட்டமைப்பிற்காக கர்நாடகா, NCERT க்கு சமர்ப்பித்துள்ள நிலைக் கட்டுரை, "பிதாகரஸ் தேற்றம்" என்று அழைக்கப்படும், பித்தகோரஸின் தேற்றத்தை "போலி செய்தி" என்று குறிப்பிடுகிறது.

இதையும் படியுங்கள்: Explained: டாலருக்கு நிகரான இந்திய ரூபாய் 80 ஆக சரிந்தது ஏன்? என்ன நடக்கிறது? அடுத்து என்ன?

"பிதாகரஸ் தேற்றம் பல சர்வதேச மன்றங்களில் சர்ச்சைக்குரிய விவாதமாக உள்ளது. அதன் உள்ளடக்கம் அல்ல, ஆனால் பிதாகரஸ் அதை தனக்கு சொந்தமானது என்று கூறுவது விவாதமாக உள்ளது... பித்தகோரஸ் என்று யாரும் இல்லை என்று கூறும் கோட்பாடுகள் உள்ளன, ”என்று கர்நாடகாவின் NEP பணிக்குழுவின் தலைவராக இருக்கும் ஓய்வுபெற்ற ஐஏஎஸ் அதிகாரி மதன் கோபால் தி இந்தியன் எக்ஸ்பிரஸிடம் கூறினார். மதன் கோபால் பௌதாயன சல்பசூத்திரம் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு உரையைக் குறிப்பிட்டார், அதில் ஒரு குறிப்பிட்ட ஸ்லோகம் இந்த தேற்றத்தைக் குறிக்கிறது.

பித்தகோரஸ் என்பவர் இருந்தாரா, அவரது பெயரிடப்பட்ட தேற்றம் என்ன?

தி இந்தியன் எக்ஸ்பிரஸ் தொடர்பு கொண்ட கணிதவியலாளர்கள் கூறும்போது, கிரேக்க தத்துவஞானி பித்தகோரஸ் (கிமு 570-490 இல்) இருந்ததாக சான்றுகள் தெரிவிக்கின்றன. இருப்பினும், அவரைச் சுற்றி மர்மத்தின் ஒரு கூறு உள்ளது, அவர் தொடர்புடைய இத்தாலியில் நிறுவப்பட்ட பள்ளி/சமூகத்தின் இரகசிய தன்மை இதற்கு காரணமாகும். ஒப்பீட்டளவில் அவரது கணித சாதனைகள் பற்றி அதிகம் அறியப்படவில்லை, ஏனென்றால் இன்று அவருடைய சொந்த எழுத்துக்கள் எதுவும் இல்லை (கணிதக் காப்பகத்தின் வரலாறு, செயின்ட் ஆண்ட்ரூஸ் பல்கலைக்கழகம், ஸ்காட்லாந்து) என்று கூறினர்.

பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் இணைக்கும் உறவை விவரிக்கிறது (கோணங்களில் ஒன்று 90° ஆகும்):

a² + b² = c²

இதில் a மற்றும் b என்பது இரண்டு செங்குத்து பக்கங்கள், மற்றும் c என்பது மூலைவிட்ட பக்கத்தின் நீளம்.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களும் தெரிந்தால், தேற்றம் மூன்றாவது பக்கத்தைக் கணக்கிட உங்களுக்கு உதவுகிறது. இந்த சமன்பாடு சதுரங்கள் மற்றும் செவ்வகங்கள் மற்றும் அவற்றின் மூலைவிட்டங்களின் பக்கங்களுக்கு நீட்டிக்கப்பட்டுள்ளது. மற்றும் கட்டுமானம், வழிகாட்டுதல் மற்றும் வானியல் ஆகியவற்றில் இந்த சமன்பாடு பெரும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.

வேத காலத்திலிருந்தே இந்தியக் கணிதவியலாளர்கள் இதை அறிந்திருந்தார்கள் என்று நமக்கு எப்படித் தெரியும்?

சல்பசூத்திரங்களில் குறிப்புகள் உள்ளன, அவை வேதகால இந்தியர்களால் செய்யப்படும் தீ சடங்குகள் (யஜனங்கள்) தொடர்பான நூல்கள். இவற்றில் பழமையானது பௌதாயான சுல்பசூத்திரம்.

"பௌதாயன சல்பசூத்திரத்தின் காலம் நிச்சயமற்றது (மற்ற சல்பசூத்திரங்களைப் போலவே), இது சம்பந்தமாக பயனுள்ள நேரடி உள் ஆதாரங்கள் எதுவும் இல்லை. இது மொழியியல் மற்றும் பிற இரண்டாம்நிலை வரலாற்றுக் கருத்தாய்வுகளின் அடிப்படையில் மதிப்பிடப்படுகிறது மற்றும் ஆசிரியரைப் பொறுத்து கணிசமாக வேறுபடுகிறது. மொத்தத்தில், சமீபத்திய இலக்கியங்களில், பௌதாயன சல்பசூத்திரம் கிமு 800 காலகட்டத்தைச் சேர்ந்தது என்று குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது," என்று மும்பை பல்கலைக்கழகத்தின் அணுசக்தி மைய அடிப்படை அறிவியல் துறையின் கணிதப் பேராசிரியர் ஸ்ரீகிருஷ்ண ஜி டானி கூறினார்.

"பௌதயானா சல்பசூத்திரம் பிதாகரஸ் தேற்றம் (இது ஒரு வடிவியல் உண்மையாக அறியப்பட்டது, ஒரு 'தேற்றம்' அல்ல) என்று அழைக்கப்படும் ஒரு அறிக்கையைக் கொண்டுள்ளது என்பது கல்வித்துறை வட்டாரங்களில் நீண்ட காலமாக அறியப்படுகிறது," என்று எழுதிய பேராசிரியர் டானி கூறினார். 2008 சென்னை கருத்தரங்கில் வெளியிடப்பட்ட 'கணித வரலாற்றில் ஆய்வுகள்' என்ற நூலில் சல்பசூத்திரங்களில் வடிவவியலை விவரிக்கும் கட்டுரையை பேராசிரியர் டானி எழுதியுள்ளார்.

இந்தியக் கணித வரலாற்றில் நிபுணத்துவம் பெற்ற நியூயார்க்கின் யூனியன் கல்லூரியின் இணைப் பேராசிரியர் கிம் ப்ளோப்கர், பௌதாயன சல்பசூத்திரத்தில் முதல் அத்தியாயத்தில் உள்ள இரண்டு சூத்திரங்களை மேற்கோள் காட்டினார்: ”ஒரு செவ்வகத்தின் நீளம் மற்றும் அகலத்தால் தனித்தனியாக உருவாக்கப்படும் <சதுரங்களின்> பகுதிகள் மூலைவிட்டத்தால் உருவாக்கப்படும் <சதுரத்தின்> பகுதிக்கு சமம். 3 மற்றும் 4, 12 மற்றும் 5, 15 மற்றும் 8, 7 மற்றும் 24, 12 மற்றும் 35, 15 மற்றும் 36 பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகங்களில் இது காணப்படுகிறது.”

சல்பசூத்திரங்களில் இந்த சமன்பாடு எந்த சூழலில் விவாதிக்கப்படுகிறது?

சமபக்க முக்கோணங்கள், சமச்சீர் நாற்கரம் மற்றும் செவ்வகங்கள் போன்ற பல்வேறு வடிவங்களில் பலிபீடங்கள் (வேதி) மற்றும் நெருப்பிடம் (அக்னி) கட்டுதல் ஆகியவை யாகச் சடங்குகளில் அடங்கும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட அளவுகளுடன் இந்த உருவங்களை உருவாக்குவதற்கான படிகளை சல்பசூத்திரங்கள் விவரிக்கின்றன.

பித்தகோரியன் சமன்பாடு செங்குத்தாக வரைவதை உள்ளடக்கிய இந்த நடைமுறைகளில் செயல்பாட்டுக்கு வருகிறது. பேராசிரியர் டானியின் கட்டுரையில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி, இந்த செங்குத்துகள் முக்கோணங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, அதன் பக்கங்கள் 3:4:5 அல்லது 5:12:13 விகிதத்தில் இருந்தன. இந்தப் பக்கங்கள் பித்தகோரியன் உறவைப் பின்பற்றுகின்றன, ஏனெனில் 3² + 4² = 5², மற்றும் 5² + 12² = 13². இத்தகைய சேர்க்கைகள் பித்தகோரியன் டிரிபிள்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இந்திய கணிதவியலாளர்கள் சமன்பாட்டை நிரூபித்தார்களா?

இந்தியர்களிடம் ஆதாரம் இருந்ததற்கும், பிதாகரஸ் உருவாக்கினார் என்பதற்கும் எந்த ஆதாரமும் இல்லை என்று பேராசிரியர் டானி கூறினார். மேலும், "ஒரு அச்சு கட்டமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு கணித ஆதாரம் பற்றிய யோசனை கிரேக்கர்களுக்கு தனித்துவமானது. எனவே மற்ற கலாச்சாரங்களைப் பொறுத்தவரை, வடிவியல் அறிக்கையின் 'ஆதாரம்' என்பது நம்பிக்கையை எடுத்துச் செல்வதற்கான சில வழிமுறைகளை மட்டுமே குறிக்கிறது, இது பல்வேறு கலாச்சாரங்களில் இருந்திருக்கும் ( ஏனெனில் இது உண்மையில் ஒரு 'சுயமான' அறிக்கை அல்ல)" என்றும் பேராசிரியர் டானி கூறினார்.

மேலும் கிம் ப்லோஃப்கர் மின்னஞ்சலில் கூறினார்: "சல்பா பயிற்சியாளர்களுக்கு வடிவியல் நிர்மாணங்கள் பற்றிய தெளிவான பரிச்சயம் இருப்பதால், அந்த 'பித்தகோரியன்' சூத்திரங்களை ஆதரிக்கும் வடிவியல் பகுத்தறிவுகளை அவர்கள் அறிந்திருந்தார்கள் மற்றும் புரிந்து கொண்டார்கள் என்பதை நான் எடுத்துக்கொள்கிறேன்."

சமன்பாடு பற்றிய அறிவு எவ்வாறு உருவானது?

பழைய பாபிலோனிய நாகரிகத்திலிருந்து (கிமு 1900-1600) ஆரம்பகால சான்றுகள் உள்ளன. "அவர்கள் பித்தகோரஸின் தேற்றத்தை நன்கு அறிந்திருந்தனர்: ஆனால் பித்தகோரஸுக்கு ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பு இருந்ததால், அவர்கள் அவ்வாறு குறிப்பிடவில்லை: அவர்கள் அதை 'மூலைவிட்ட விதி' என்று குறிப்பிட்டனர். குறைந்தபட்சம் அரை டஜன் வரலாற்றுப் படிவங்கள் இந்த விதியை அவர்கள் அறிந்திருப்பதை உறுதிப்படுத்துகின்றன, ”என்று நியூ சவுத் வேல்ஸ் பல்கலைக்கழகத்தின் பேராசிரியர் நார்மன் வைல்ட்பெர்கர் கூறினார், அவர் களிமண் படிவமான Plimpton 322 இல் விரிவான ஆராய்ச்சி செய்துள்ளார்.

ஒரு நிரூபணத்தின் ஆரம்பகால சான்றுகள் சல்பசூத்திரங்களுக்குப் பிந்தைய காலத்திலிருந்து வருகிறது. "தேற்றத்தின் எஞ்சியிருக்கும் மிகப் பழமையான அச்சு ஆதாரம் கிமு 300 இல் யூக்ளிட்டின் கூறுகளில் உள்ளது. ஆனால் மீண்டும், யூக்ளிட் தனது கடுமையான-விளக்கப் பதிப்பைப் பதிவு செய்வதற்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே, 'பித்தகோரியன்' உறவுக்கான பல அதிகமான அல்லது குறைவான முறையான வடிவியல் பகுத்தறிவுகள் அதன் பயனர்கள் பலரால் புரிந்து கொள்ளப்பட்டிருக்கலாம்" என்று கிம் ப்லோஃப்கர் கூறினார்.

இந்தியர்கள் அல்லது பிதாகரஸ் இவர்களில் யார் சமன்பாட்டை முதலில் அறிந்தார்கள் என்ற விவாதம் எவ்வளவு பொருத்தமானது?

இந்தியன் எக்ஸ்பிரஸ் இந்த கேள்வியை பேராசிரியர் டானியிடம் வைத்தது. "தற்போதைய விவாதம் வெளிப்படையாக கர்நாடகாவின் நிலைக் கட்டுரையின் அடிப்படையில் உள்ளது, அங்கு அவர்கள் பொறுப்பற்ற முறையில் பிதாகரஸ் தேற்றத்தை 'போலி செய்தி' என்று அழைக்கிறார்கள். ஒரு மறைமுகமான உரிமை கோரல் உள்ளது, அதைத்தான் ஒருவர் தெளிவுபடுத்த வேண்டும்,” என்று டானி கூறினார்.

"... பொதுவாக 'ஜகத்குரு சிண்ட்ரோம்' என்று குறிப்பிடப்படும், இந்தியாவில் எல்லாமே இருந்தது போன்ற மனப்பான்மையை எதிர்க்க வேண்டும். சில விஷயங்கள் ஓரளவு உண்மை, அதனுடன் மொத்த குப்பைகளும் கலாச்சார மேன்மையின் உணர்வில் செல்கிறது, இது உண்மையில் மிகவும் தீங்கு விளைவிக்கும். கடந்த காலத்தில் வாழுந்த எஜமானர்கள் நாம் என்று நினைக்கும் வரை, நாடு நவீன வளர்ச்சியில் தீவிரமான செயல்பாடுகளைச் செய்யப் போவதில்லை, ”என்று அவர் கூறினார்.

தமிழ் இந்தியன் எக்ஸ்பிரஸின் அனைத்து செய்திகளையும் உடனுக்குடன் டெலிகிராம் ஆப்பில் பெற https://t.me/ietamil